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国家开放大学11079《高等代数专题研究》期末考试题库及答案（课程号：00440）2025年春

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适用科目：《高等代数专题研究》 课程号：00440 试卷号：11079

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  • 单选(54)
  • 填空(63)
  • 计算(41)
  • 证明(14)
[单选] 1. 有理数域Q上的代数运算是（）.
[单选] 2. 用x-1除x2+x+1,所得商式为（）.
[单选] 3. 线性空间V上的双线性函数f(α,β)在不同基下的度量矩阵（）
[单选] 4. 下列运算中,（）是整数集Z上的代数运算.
[单选] 5. 下列运算中,（）是有理数域Q上的代数运算.
[单选] 6. 下列运算中,（）不是整数集Z上的代数运算．
[单选] 7. 下列结论正确的是（）.
[单选] 8. 下列法则中,不能看作有理数域Q上的代数运算的是（）.
[单选] 9. 下列法则是有理数域Q上的代数运算的是（）.
[单选] 10. 下列Rn的子集中是Rn的子空间的为（）.
[单选] 11. 实对称矩阵的特征值都是（）。
[单选] 12. 设有限维线性空间V有直和分解V=
[单选] 13. 设线性空间V的线性变换A在V的基ε1,ε2下的作用为：Aε1=a11ε1+a12ε2,Aε2=a12ε1+a11ε2,那么A在基ε1,ε2下的矩阵为（）
[单选] 14. 设多项式f(x),g(x)E∈[x]互素,即有(f(x),g(x))=1,则下列结论错误的是（）.
[单选] 15. 设σ是欧氏空间V的对称变换,α,β分别是σ属于特征值λ与μ的特征向量,则下列结论正确的是（）
[单选] 16. 设σ是n维欧式空间V的线性变换,σ在基α1,α2,……,αn下的矩阵为正交矩阵A,则（）
[单选] 17. 设σ是n维欧氏空间V的线性变换,σ在基a1,a2,….an,下的矩阵为正交矩阵A,则（）
[单选] 18. 设α1,…,an是n维线性空间V的-组基,σ是V的-个线性变换,则以σ(a1).…,σ(αn)（）
[单选] 19. 设V1,V2都是线性空间V的真子空间,则下列集合中不是V的子空间的是（）.
[单选] 20. 设n阶方阵A可对角化,则下列结论正确的是（）.
[单选] 21. 设f(x)有理数域Q内不可约,则（）
[单选] 22. 设f(x)∈P[x],q(x)=
[单选] 23. 设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且(f(x)，g(x))=1，(f(x)，h(x))=1，则下列选项中错误的是（）。
[单选] 24. 设f(x),g(x)∈P[x],若f(x)|g(x),g(x)|f(x),则f(x)与g(x)的关系是（）
[单选] 25. 设f(x),g(x),h(x)∈P[x],且(f(x),g(x))=1,则下列结论错误的是（）
[单选] 26. 设A为n阶方阵,则A可对角化的充分必要条件是（）.
[单选] 27. 设A是正交矩阵,则下列选项中错误的是（）
[单选] 28. 设A是正定矩阵,则下列结论错误的是（）.
[单选] 29. 设A是正定矩阵,则下列结论错误的是（）
[单选] 30. 设A是线性空间V的线性变换,α,β是A的分别属千特征值λ与μ的特征向量,则（）
[填空] 1. 有理数域上的不可约多项式的次数是（）次的.
[填空] 2. 一类正交矩阵的行列式的值等于（）。
[填空] 3. 向且组a1=(1,0,0),a2=(l,2,O),a3=(1,2,3)线性（）
[填空] 4. 向量组α=(α,0,0)β=(2,a,0),γ=(1,3,2)线性相关,则α=（）.
[填空] 5. 向量组a=(1,0,1),[3=(0,1,2),y=(2,3,a)线性相关,则a=（）
[填空] 6. 向量组a=(0,0,1),β=(0,1,2),γ=(a,3,5)线性相关,则a=.（）
[填空] 7. 向量组a1=(1,2,3),a2=(1,0,0),a3=(10,19,30)线性（）
[填空] 8. 向量组a1=(1,2,3),a2=(1,0,0),a3=(1,1,0)线性（）
[填空] 9. 线性空间V上的双线性函数f非退化的充分必要条件是它的度量矩阵（）
[填空] 10. 线性空间V上的双线性函数f(α,β)在不同基下的度量矩阵必（）
[填空] 11. 线性变换A的属于不同特征值的特征向量-定是的（）的
[填空] 12. 同-线性变换在不同基下的矩阵是（）的．
[填空] 13. 双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是（）矩阵.
[填空] 14. 双线性函数f非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M（）
[填空] 15. 双线性函数
[填空] 16. 数学归纳法所依据的重要原理是（）
[填空] 17. 实数域上的不可约多项式的次数最多是（）次的．
[填空] 18. 实数域上的不可约多项式的次数是（）次的.
[填空] 19. 实对称矩阵A是正定的充分必要条件是A的顺序主子式（）。
[填空] 20. 设矩阵A与B相似,则A与B的行列式值（）
[填空] 21. 设多项式f(x),g(x)不全为o,d(x)=(f(x),g(x)),则(f(x)2,(x))=d(x)'d(x)（）
[填空] 22. 设σ是欧氏空间V的对称变换,则σ在V的标准正交基下的矩阵是（）
[填空] 23. 设α1,α2,α3是线性空间R3的-组基,则从基α1,α2,α3到基α2,α1,α3的过渡矩阵T=（）
[填空] 24. 设f(x),g(x)∈P[x],g(x)≠0,则g(x)|(f(x)的充分必要条件是g(x)除(f(x)的余式为（）
[填空] 25. 设e1,e2是2维欧氏空间V中的-组标准正交基,a∈V,且(α,el)=1,(α,e2)=2,则a=（）
[填空] 26. 设e1,e2是2维欧氏空间V中的-组标准正交基,a∈V,且(a,e1)=3,(a,e2)=-2,则a=（）
[填空] 27. 设e1,e2是2维欧氏空间V中的-组标准正交基,a∈V,且(a,e1)=3,(a,e2)=-1,则a=（）
[填空] 28. 设e1,e2是2维欧氏空间V中的-组标准正交基,a∈V,且(a,e1)=1,(a,e2)=2,则a=（）
[填空] 29. 设A是线性空间V上的-个线性变换,则A在V的不同基下所对应的矩阵（）
[填空] 30. 设A是线性空间V的线性变换,则A的属于不同特征值的特征向量线性（）
[计算题] 1. 在线性空间R3中有两组基：
[计算题] 2. 用综合除法计算f(x)=2x4-7x3-6x2+7x+1被g(x)=x+1除的商式和余式
[计算题] 3. 用正交线性替换化实二次型
[计算题] 4. 已知β1=(1,1,1,1),β2=(1,0,1,-1),β3=(1,-2,1,-5),求W=L(β1,β2,β3)的-组基数与维数
[计算题] 5. 已知α1=(1,1,0),α2=(1,0,1),α3=(1,0,0)是欧氏空间R3的-组基,请用施密特正交化方法求R3的-组标准正交基.
[计算题] 6. 已知α1,α2,α3是3维线性空间的-组基,向量组β1,β2,β3满足
[计算题] 7. 已知R4中的两组基α1，α2，α3，4与β1，β2，β3，4其中α1=(1，0，0，0)，α2=(0，1，0，0) ，α3=(0，0，1，0)，α4=(0，0，0，1)， β1=（2，l，-1，1），β2=(0，3，1，O)，β3=(5，3，2，1)，β4=(6，6，1，3). 求α1，α2，α3，α4到β1，β2，β3，β4的过渡矩阵.
[计算题] 8. 已知a1=(1,1,0),a2=(0,0,1),a3=(1,0,1)是欧氏空间R3的-组基,请用施密特正交化方法求R3的-组标准正交基
[计算题] 9. 已知1=(1,1,1,1),2=(1,0,1,-1),3=(1,3,0,-4),求W=L(1,2,3)的基与维数.
[计算题] 10. 巳知a1,a2,a3是三维线性空间V的-组基,
[计算题] 11. 设向量组a1=(1,-1,1,0),a2=(-2,1,0,2),a3=(-1,0,1,3),a4=(1,1,0,4),求L(a1,a2,a3,a4)的基和维数
[计算题] 12. 设向量组a1=(1,-1,1,0),a2=(-2,1,0,2),a3=(-1,0,1,2),a4=(1,1,-2,-4),求W=L(a1,a2,a3,a4)的基与维数.
[计算题] 13. 设α1=(1,2,1,0),α2=(-1,1,1,1),α3=(0,3,2,1),求W=L(α1,α2,α2)的-组基和维数
[计算题] 14. 设R的线性变换定义如下：σ(x,X2,x)=(3x,-2x,x+3x,x-x),求の在基8=(1,0,0),=(0,1,0),e=(0,0,1)下的矩阵.
[计算题] 15. 设R³的线性变换σ定义如下：σ(x1,x2,x3)=(2x1-x2,x2-x3,x2+x3),求σ在基ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)下的矩阵.
[计算题] 16. 设R3的线性变换σ定义如下：
[计算题] 17. 设R3的线性变换σ定义如下：
[计算题] 18. 设f(x)=x4+X3-5x2-3x+6,g(x)=x3-x2+2x-2,求(f(x),g(x)).
[计算题] 19. 设f(x)=x4+2x3-x2-4x-2,g(x)=x4+x3-x2-2x-2,求(f(x),g(x)).
[计算题] 20. 设A=[1a1
[计算题] 21. 设A=[111
[计算题] 22. 设A=[101
[计算题] 23. 设A=[1 4 2]，求一个可逆矩阵T，使T-1AT为对角矩阵.
[计算题] 24. 设A=(2−20−21−20−20),求-个正交矩阵T,使T-1AT=TTAT为对角矩阵.
[计算题] 25. 求阵矩A=[100
[计算题] 26. 求矩阵A=[34
[计算题] 27. 求多项式，f(x)=4x4-7x2-5x-1的有理根.
[计算题] 28. 求多项式f(x)=x4-5x2+11x2-16x+12的有理根
[计算题] 29. 求多项式f(x)=6x4+x3+4x2+x-2的所有有理根．
[计算题] 30. 求多项式f(x)=5+11-16+12的有理根
[证明题] 1. 证明：若n阶方阵A与B相似,则它们的行列式相等.
[证明题] 2. 证明：若A为可逆矩阵,则它的特征值均非零.
[证明题] 3. 证明：如果d(x)|f(x),d(x)|g(x),并且存在u(x),v(x)使
[证明题] 4. 证明:两个实对称矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的特征多项式,
[证明题] 5. 设λ1,λ2是线性变换σ的两个不同的特征值,α1,α2的分别是σ的属于特征值λ1,λ2的特征向量,证明：α1+α2的不是σ的特征向量.
[证明题] 6. 设f(x),g(x)是数域P上的-元多项式,且(f(x),g(x))=1,证明
[证明题] 7. 设f(x),g(x),h(x)∈P[x],且(f(x),g(x))=1,证明：
[证明题] 8. 设A是正定实对称矩阵，证明A-1也是正定实对称矩阵.
[证明题] 9. 设A∈M.(P)满足A2=
[证明题] 10. 设A∈M.(P),且A2=E,令
[证明题] 11. 设A,B都是n阶正定对称矩阵,证明：A+B也是正定对称矩阵．
[证明题] 12. 设,f(x),g(x)是数域P上的-元多项式,且f(x),g(x)=1,证明：(f(x)·f(x)+g(x))=1.
[证明题] 13. 如果A.B都是正定实对称矩阵,证明：A+B也是正定实对称矩阵.
[证明题] 14. 如果A,B都是正定实对称矩阵,证明：A+B也是正定实对称矩阵.